The Boston Garden

11月10日有兩場NBA比賽結果特別引人注意，一場當然是萬眾矚目的邁阿密熱火隊對上猶他爵士隊，另外一場則是印地安納溜馬隊對上丹佛金塊隊。在熱火和爵士隊的比賽第四節，爵士隊的大前鋒Paul Millsap在28秒內連得11分，包括三分球3投3中，扳平了比數，並且進而在延長賽中取勝。值得注意的是Millsap之前四年生涯三分球出手不過投20中2，光是昨天的投進數就比生涯合計要多，他的對手Dwyane Wade都不禁說：「那傢伙著火了！」（"The man was on fire."）

而另外一場溜馬隊和金塊隊的比賽，著火的就不只一個人，而是一支球隊了。在這場比賽的第三節，溜馬隊以投21中20的表現，狂攻54分，一舉逆轉比數擊敗金塊隊，其中Mike Dunleavy單節投7中7獨得24分，更是燙到不行。

所以真的有「手感發燙」這回事嗎？這件事長久以來一直充滿爭議，對傳統的籃球員和球迷來說，手感這件事幾乎是種確信，有時候就是怎麼投怎麼進，感覺籃框跟大海一樣大，但是對某些認知心理學家來說，一直有人主張「手感發燙」這件事，不過是人的心理作用罷了。

與此有關的研究最早始於1985年，當時康乃爾大學的Thomas Gilovich和史丹佛大學的Robert Vallone和Amos Tversky著有一篇論文，名稱就叫做「籃球中的火熱手感：對於隨機亂數的誤解」（The Hot hand in Basketball: On the Misperception of Random Sequences）。（這篇文章可以在這裡下載）

他們首先從康乃爾和史丹佛大學的學生中找來100位籃球迷，其中所有人都至少「偶爾」會打籃球，65%的人有打籃球的習慣，至少一年會看5場以上的球賽，73%的人一年看的比賽超過15場，其中還包括50位校內籃球隊的隊長。

針對這些籃球迷所做的調查顯示，91%的人相信以下的敘述：球員在連續投進兩三球後再出手的命中率，會比連續兩三球不進後來得高；罰球也大致如此，68%的人相信：剛罰進一球後的命中率，會比剛罰不進一球的命中率高；96%的人相信：連續投進數球之後，球員的出手次數會比平常來得多；84%的人相信：如果有球員連續投進好幾球，要趕快把球傳給他。

其次他們虛擬了一個命中率50%的球員，假設他剛投進一球，這些籃球迷預測他下一球的命中機率大約是61%，相反的，如果他剛剛錯失一球，預測下一球的命中率就降到42%。如果假設他的命中率是70%，那麼這兩個數字分別變成74%和66%。

這樣看來，投籃手感這件事真的存在於一般籃球迷的心中，但是籃球員在比賽中的表現又是如何呢？

他們選擇了1980年到1981年球季，費城七六人隊的9位主要球員在主場48場比賽的出手資料作統計（因為別的球隊統計資料無法取得），把命中率分別分為剛投進一球、兩球和三球及剛錯失一球、兩球和三球不同情形，還有他們平均的命中率，結果如下：

從這個表可以看出，這九個球員在48場比賽的平均命中率是52%，而投進之後出手的命中率，卻比投不進之後的命中率要低，在投進一球、兩球和三球後下一球的命中率分別是51%、50%和46%，反而越來越低，而錯失一球、兩球和三球後下一球的命中率卻是54%、53%和56%，反而比較高。

接著他們用Wald-Wolfowitz Run Test計算，假使球員連續投進或投不進的次數越多，他的「分數」越低，結果這九位球員裡面其中五位，他的分數比理論上每次出手都是獨立事件的分數還要高，這個結論和一般想像的籃球手感結論相互矛盾。

最後他們用Lexis Ratio檢驗是不是有所謂「該場比賽手感發燙」這回事，而其結果也顯示，球員在不同比賽間的命中率變化程度，其差異性沒有顯著偏離他們的平均命中率，所以數據上也看不出來有單場比賽手感特別火熱或冰冷這件事。

接著他們檢驗了罰球，因為理論上罰球是最不受其他因素干擾的出手，球員可以在罰球線上，不會受到封蓋，不用跑動，而且通常都是連續兩次。先前我們提到籃球迷對於命中率70%的球員預測，當他投進一球後，預測他下次出手投進的機率也會提升，這符合實際情形嗎？

這次他們找到波士頓塞爾蒂克在1980年到1981年球季、1981年到1982年球季的罰球成績。

第二欄是第一次罰球沒進後下一球的命中率，第三欄則是第一次罰進後下一球的命中率，第四欄則是兩次出手間的關聯性。

結果九位球員中，五位球員在第一次罰球沒進後，命中率比第一次罰球進時要高，另外四位則是剛好相反，但是沒有一位的差異性稱得上顯著。而這顯然跟籃球迷的預測不符。

這些統計結論顯然和籃球手感的說法相違背，而在這篇論文出來之後，有更多有關這個主題的文章出現，而隨著更多統計數據的誕生，可以做為分析基礎的資料量也更龐大，但是始終沒有明確證據顯示籃球手感這件事的存在。

那麼投進一球後，為什麼下一球的命中率反而會降低呢？這也許可以有很多解釋，比如說因為對自己信心更強，所以出手的機率比平常更高，開始嘗試一些通常不敢作的動作，或者對手開始把防守重心擺在自己身上，也或者純粹是因為出手太多次，所以體力下降了，這些原因都可能會造成命中率反而下降。

至於那些不斷投進的籃球又要怎麼解釋呢？這叫做「賭徒謬誤」（gambler’s fallacy），人們根據某件事最近發生過的次數，來假設這件事接下來會發生或不發生，比如說當你擲出銅板的一面時，你會假設因為機率法則，下一次出現另一面的機率比較高。投籃也是一樣，因為你連續投進了幾球，腦中就傾向相信自己的感覺，建立一種叫做「手感」的模式，但其實每次投籃不過是一個獨立的單一事件，次數夠多，自然就會回到平均值。

所以下次你的隊友「手感發燙」時，你還會把球繼續傳給他嗎？